FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN (ANALISA KOMPLEKS)

FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN

A. Kekontinuan

            Dalam bahasa yang biasa, kata kontinu digunakan untuk memberikan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. 

     Misal f(z) terdefenisi dan nilai tunggal dalam suatu lingkungan dari z = z₀ dan juga pada z = z₀ ( yaitu lingkungan dari z₀ ).Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z₀.Jika bahwa ini mengakibatkan 3 syarat yang harus dipenuhi agar f(z) kontinu di z = z₀ :

1.        harus ada

2.      f(z₀) harus ada yang f(z) terdefenisi di z₀

3.      e = f(z₀)

Jika f(z) kontinu di z₀ pernyataan yang setara dengan ini dan yang dianjurkan adalah berbentuk   .

Contoh:

Jika f(z) =  untuk z, maka dan f(z) kontinu di z = i

            Titik dibidang z dimana f(z) tidak kontinu dinamakan  ketakkontinuan dari f(z) dan f(z) dikatakan tak kontinu di titik ini. Jika  ada tetapi sama dengan , maka kita namakan  suatu ketakkontinuan yang dapat dihapuskan karena dengan mendefenisikan kembali . Sama dengan  fungsinya menjadi kontinu.

            Cara lain untuk mrndefenisikan kekontinuan diatas adalah f(z) dikatakan kontinu di z = . Jika untuk setiap e, kita dapat menentukan  sehngga  dinamakan . Perhatikan bahwa ini menyederhanakan defenisi limit dengan f(z) =  dan menghitung batasan  .

            Untuk mengaji kekontinuan f(z) di z = , kita gantikan dengan z = 1/w dan ujilah kekontinuan f(1/w) di w = 0.

B. Kekontinuan Dalam Suatu Daerah

            Suatu fungsi f(z) dikatakan kontinu dalam suatu jika ia kontinu di semua titik pada daerah tersebut.

C. Teorema Pada Kekontinuan

Teorema 1 :

Jika f(z) dan g(z) kontinu di z = z₀,maka fungsi f(z) + g(z),f(z) – g(z) ,f(z) g(z) dan  juga kontinu di z₀ tetapi yang terakhir ditambah syarat hanya jika g(z₀) ≠ 0 hasil yang lama berlaku untuk kekontinuan pada suatu daerah.

Teorema 2 :

Fungsi yang kontinu pada setiap darah berhingga diantaranya adalah

a.       semua suku banyak

b.      e^z

c.       din z dan cos z

Teorema 3 :

Jika w = f(z) kontinu di z = z₀ dan  kontinu pada  dan jika , maka fungsi w = g[f(z)] yang dinamakan suatu fungsi dari fungsi atau fungsi komposisi kontinu di z = z₀.Suatu fungsi dari fungsi kontinu juga dikatakan kontinu.

Teorema 4 :

Jika f(z) kontinu dalam suatu daerah tertutup,maka terbatas pada daerah tersebut ; yaitu terdapat konstanta M sehingga  untuk semua titik z pada daerah tersebut.

Teorema 5 :

Jika f(z) kontinu dalam suatu daerah,maka bagian riil dan khayal dari f(z) kontinu dalam daerah tersebut.

D. Kekontinuan Seragam

Misal f(z) kontinu dalam suatu daerah,maka menurut dafenisinya disetiap titik z₀ dari daerah tersebut dan untuk setiap e > 0 ,kita dapat menentukan  ( yang secara umum bergantung pada e dan titik khusus z₀ ).Sehingga  bilamana .Jika kita dapat menentukan  yang hanya bergantung dari e tetapi pada titik khusus z₀,maka kita mengatakan bahwa f(z) kontinu seragam dalam daerah tersebut.f(z) dikatakan kontinu seragam dalam suatu daerah jika untuk setiap e > 0 kita dapat menentukan

> 0 sehingga bilamana  dimana z₁ dan z₂ adalah dua titik sembarang pada daerah tersebut.

Teorema :

Jika f(z) kontinu dalam suatu daerah tertutup,maka ia kontinu seragam di daerah tersebut.

E. Barian

Suatu fungsi dengan peubah bilangan bulat positif,yang dinyatakan oleh f(n) atau Un dimana n = 1,2,3,.... dinamakan suatu barisan.Jadi suatu barisan adalah suatu himpunan bilangan U₁,U₂,U₃,...  dalam suatu barisan tertentu yang diatur dan dibentuk melalui suatu aturan tertentu.Setiap bilangan dalam barisan dinamakan suku dan Un dinamakan suku ke-n barisan   U₁,U₂,U₃,... juga disingkat dengan tulisan ( Un ).Barisan tersebut dinamakan berhingga atau tak berhingga sesuai dengan apakah bilangan yang terlibat banyaknya berhingga atau tidak. Dalam hal yang khusus, kita hanya akan mempelajari barisan tak berhingga.

Contoh:

1)      Himpunan bilangan  adalah suatu barisan berhingga:

Suku ke – n ditentukan oleh

2)      Himpunan bilangan adalah barisan tak berhingga:

Suku ke – n nya ditentukan oleh

F. Limit Barisan

Suatu barisan e dinamakan limit suatu barisan tak hingga U₁,U₂,U₃,...  jika untuk setiap bilangan e positif kita dapat menentukan suatu bilangan posotif N yang bergantung pada e sehingga  untuk setiap n > N.Dalam kasus ini kita menuliskan .

Jika limit barisan tersebut ada,mka barisan dinamakan konvergen : dalam hal lain dinamakan divergen.Suatu barisan hanya dapat konvergen ke satu limit,yaitu limit suatu barisan adalah tunggal.

Suatu cara yang lebih intuitif tapi tidak akurat untuk menyatakan konsep limit barisan ini ialah bahwa suatu barisan U₁,U₂,U₃,... memiliki limit jika suku-suku berturutannya ” makin mendekati e ”.Sering digunakan untuk menunjukkan suatu ” taksiran ” dalam menentukkan nilai limitnya,dan sesudah ini digunakan defenisi limit untuk melihat bahwa taksiran tersebut sesungguhnya benar.

G. Teorema Pada Limit Barisan

Jika   dan     maka :

H. Deret Tak Berhingga

Misalkan U₁,U₂,U₃,... adalah suatu barisan. Bentuklah suatu barisan baru S₁,S₂,S₃,... didefenisikan oleh

S₁ = U₁ ,

 S₂ = U₁+U₂ ,

 S₃ = U₁+U₂+U₃ ,

S_n = U₁+U₂+ ∙∙∙ U_n ,

diamana S_n dinamakan jumlah parsial ke-n ,yaitu jumlah suku pertama dari barisan ( U_n ).

Barisan S₁,S₂,S₃,... ditulis dengan lambang  U₁+U₂+U₃+ ∙∙∙ = Yang dinamakan suatu deret ak hingga.

Jika  ada,maka deret tersebut dinamakan konvergen dan S adalah jumlahnya,dalam hal ini deret tersebut dinamakan devergen.Suatu syarat perlu agar suatu deret konvergen adalah ;tetapi ini bukan syarat cukup.