Jumat, 13 Juni 2014

FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN (ANALISA KOMPLEKS)

FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN
A. Kekontinuan
            Dalam bahasa yang biasa, kata kontinu digunakan untuk memberikan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. 
     Misal f(z) terdefenisi dan nilai tunggal dalam suatu lingkungan dari z = z0 dan juga pada z = z0 ( yaitu lingkungan dari z0 ).Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z0.Jika bahwa ini mengakibatkan 3 syarat yang harus dipenuhi agar f(z) kontinu di z = z0 :
1.        harus ada
2.      f(z0) harus ada yang f(z) terdefenisi di z0
3.      e = f(z0)
Jika f(z) kontinu di z0 pernyataan yang setara dengan ini dan yang dianjurkan adalah berbentuk   .
Contoh:
Jika f(z) =  untuk z, maka dan f(z) kontinu di z = i
            Titik dibidang z dimana f(z) tidak kontinu dinamakan  ketakkontinuan dari f(z) dan f(z) dikatakan tak kontinu di titik ini. Jika  ada tetapi sama dengan , maka kita namakan  suatu ketakkontinuan yang dapat dihapuskan karena dengan mendefenisikan kembali . Sama dengan  fungsinya menjadi kontinu.
            Cara lain untuk mrndefenisikan kekontinuan diatas adalah f(z) dikatakan kontinu di z = . Jika untuk setiap e, kita dapat menentukan  sehngga  dinamakan . Perhatikan bahwa ini menyederhanakan defenisi limit dengan f(z) =  dan menghitung batasan  .
            Untuk mengaji kekontinuan f(z) di z = , kita gantikan dengan z = 1/w dan ujilah kekontinuan f(1/w) di w = 0.

B. Kekontinuan Dalam Suatu Daerah
            Suatu fungsi f(z) dikatakan kontinu dalam suatu jika ia kontinu di semua titik pada daerah tersebut.

C. Teorema Pada Kekontinuan
Teorema 1 :
Jika f(z) dan g(z) kontinu di z = z0,maka fungsi f(z) + g(z),f(z) – g(z) ,f(z) g(z) dan  juga kontinu di z0 tetapi yang terakhir ditambah syarat hanya jika g(z0) ≠ 0 hasil yang lama berlaku untuk kekontinuan pada suatu daerah.
Teorema 2 :
Fungsi yang kontinu pada setiap darah berhingga diantaranya adalah
a.       semua suku banyak
b.      ez
c.       din z dan cos z
Teorema 3 :
Jika w = f(z) kontinu di z = z0 dan  kontinu pada  dan jika , maka fungsi w = g[f(z)] yang dinamakan suatu fungsi dari fungsi atau fungsi komposisi kontinu di z = z0.Suatu fungsi dari fungsi kontinu juga dikatakan kontinu.
Teorema 4 :
Jika f(z) kontinu dalam suatu daerah tertutup,maka terbatas pada daerah tersebut ; yaitu terdapat konstanta M sehingga  untuk semua titik z pada daerah tersebut.


Teorema 5 :
Jika f(z) kontinu dalam suatu daerah,maka bagian riil dan khayal dari f(z) kontinu dalam daerah tersebut.

D. Kekontinuan Seragam
Misal f(z) kontinu dalam suatu daerah,maka menurut dafenisinya disetiap titik z0 dari daerah tersebut dan untuk setiap e > 0 ,kita dapat menentukan  ( yang secara umum bergantung pada e dan titik khusus z0 ).Sehingga  bilamana .Jika kita dapat menentukan  yang hanya bergantung dari e tetapi pada titik khusus z0,maka kita mengatakan bahwa f(z) kontinu seragam dalam daerah tersebut.f(z) dikatakan kontinu seragam dalam suatu daerah jika untuk setiap e > 0 kita dapat menentukan
> 0 sehingga bilamana  dimana z1 dan z2 adalah dua titik sembarang pada daerah tersebut.
Teorema :
Jika f(z) kontinu dalam suatu daerah tertutup,maka ia kontinu seragam di daerah tersebut.

E. Barian
Suatu fungsi dengan peubah bilangan bulat positif,yang dinyatakan oleh f(n) atau Un dimana n = 1,2,3,.... dinamakan suatu barisan.Jadi suatu barisan adalah suatu himpunan bilangan U1,U2,U3,...  dalam suatu barisan tertentu yang diatur dan dibentuk melalui suatu aturan tertentu.Setiap bilangan dalam barisan dinamakan suku dan Un dinamakan suku ke-n barisan   U1,U2,U3,... juga disingkat dengan tulisan ( Un ).Barisan tersebut dinamakan berhingga atau tak berhingga sesuai dengan apakah bilangan yang terlibat banyaknya berhingga atau tidak. Dalam hal yang khusus, kita hanya akan mempelajari barisan tak berhingga.


Contoh:
1)      Himpunan bilangan  adalah suatu barisan berhingga:
Suku ke – n ditentukan oleh
2)      Himpunan bilangan adalah barisan tak berhingga:
Suku ke – n nya ditentukan oleh

F. Limit Barisan
Suatu barisan e dinamakan limit suatu barisan tak hingga U1,U2,U3,...  jika untuk setiap bilangan e positif kita dapat menentukan suatu bilangan posotif N yang bergantung pada e sehingga  untuk setiap n > N.Dalam kasus ini kita menuliskan .
Jika limit barisan tersebut ada,mka barisan dinamakan konvergen : dalam hal lain dinamakan divergen.Suatu barisan hanya dapat konvergen ke satu limit,yaitu limit suatu barisan adalah tunggal.
Suatu cara yang lebih intuitif tapi tidak akurat untuk menyatakan konsep limit barisan ini ialah bahwa suatu barisan U1,U2,U3,... memiliki limit jika suku-suku berturutannya ” makin mendekati e ”.Sering digunakan untuk menunjukkan suatu ” taksiran ” dalam menentukkan nilai limitnya,dan sesudah ini digunakan defenisi limit untuk melihat bahwa taksiran tersebut sesungguhnya benar.






G. Teorema Pada Limit Barisan
Jika   dan     maka :

H. Deret Tak Berhingga
Misalkan U1,U2,U3,... adalah suatu barisan. Bentuklah suatu barisan baru S1,S2,S3,... didefenisikan oleh
S1 = U1 ,
 S2 = U1+U2 ,
 S3 = U1+U2+U3 ,
Sn = U1+U2+ ∙∙∙ Un ,
diamana Sn dinamakan jumlah parsial ke-n ,yaitu jumlah suku pertama dari barisan ( Un ).
Barisan S1,S2,S3,... ditulis dengan lambang  U1+U2+U3+ ∙∙∙ = Yang dinamakan suatu deret ak hingga.
Jika  ada,maka deret tersebut dinamakan konvergen dan S adalah jumlahnya,dalam hal ini deret tersebut dinamakan devergen.Suatu syarat perlu agar suatu deret konvergen adalah ;tetapi ini bukan syarat cukup.


CONTOH RPP SMK KELAS X

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

1.     IDENTITAS MATA PELAJARAN

a.
Nama Sekolah
: SMK ……………..
b.
Mata Pelajaran
: Matematika
c.
Kelas/Semester
: X/1
d.
Jumlah pertemuan
:
e.
Pertemuan ke
:
f.
Alokasi Waktu
:  2 x 45’

2.     STANDAR KOMPETENSI
         3. Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat

3.     KOMPETENSI DASAR
        3.1. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear

4.     INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI
·         Menentukan penyelesaian persamaan linear
·         Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear
·         Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan linear

5.     TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah peserta didik mengikuti materi ini diharapkan mereka mampu untuk:
  • Memahami penyelesaian persamaan linear
·         Memahami penyelesaian pertidaksamaan linear
·         Memahami penerapan persamaan dan pertidaksamaan linear

6.     MATERI AJAR
        Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

7.     METODE PEMBELAJARAN
        Metode Pembelajaran             : Ceramah, diskusi, dan tanya jawab

8.     KEGIATAN PEMBELAJARAN


No.
Kegiatan Belajar
Waktu

1.
Pendahuluan
a.     Orientasi
      Menuliskan judul di white board
      Menjelaskan secara singkat materi dan kompetensi yang akan dimiliki siswa sebagai hasil belajar
      Menyampaikan indikator yang harus dikuasai siswa         Apersepsi
      Mengingatkan kembali materi persamaan linear
5’

c.     Motivasi
      Memberikan gambaran manfaat materi macam-macam persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari

2.
Kegiatan Inti
a.     Eksplorasi
      Guru memberikan materi persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
      Guru dan siswa mendiskusikan mengenai materi yang telah disampaikan.
      Guru dan siswa membahas contoh soal yang ada di buku.
    Melibatkan siswa secara aktif dalam kegiatan pembelajaran
b.     Elaborasi
      Siswa mengerjakan soal-soal latihan
      Siswa mempresentasikan hasilnya
c.     Konfirmasi
      Guru  melakukan  tanya  jawab sambil mengarahkan siswa menemukan  jawaban atas permasalahan yang ditemukan
      Siswa yang aktif atau berhasil menyelesaikan permasalahan diberikan reward
      Siswa yang belum aktif diberikan motivasi
80’
3.
Penutup
      Siswa membuat kesimpulan
      Siswa diberi tugas untuk pertemuan selanjutnya
5’


9.     SUMBER BELAJAR
a.     Sumber Belajar                            : Buku paket, LKS


10.   PENILAIAN HASIL BELAJAR
a.
Teknik Penilaian
: Penugasan dan tes tertulis
b.
Bentuk Instrumen
: Uraian Singkat
               
c. Instrumen                                :
1. Tentukan nilai x dari persamaan  20(3x+1) =-50(5 – x)

2. Tentukan himpunan penuelesaian pertidaksamaan berikut.
a. 5b-3 < 7b+11
b. 3x-4≥16+8x
Kunci Jawaban :
No
Jawaban
Skor

1.
20(3x+1) = - 50(5 – x)
60x+20=  -250 + 50x
60x-50x= -250
10x= -250
x = -25
1
1
1
1
1
2.
a. 5b-3 < 7b+11
    5b-7b < 11+3
    2b< 14
    b < 7
b. 3x-4≥16+8x
3x-8x≥16+4
-5x≥20
x≤4


1
1
1
1
1
1
1
1

SKOR TOTAL
12


NILAI = ((SKOR PEROLEHAN):(SKOR TOTAL)) x 100%
                  
Mengetahui                                                                                         
                                                                                                                               
                   Kepala Sekolah                                                                                                                Guru Mata Pelajaran





                   (………………………….)                                                                              (……………………………..)







                  














RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

1.     IDENTITAS MATA PELAJARAN
a.
Nama Sekolah
: SMK …………….
b.
Mata Pelajaran
: Matematika
c.
Kelas/Semester
: X/1
d.
Jumlah pertemuan
:
e.
Alokasi Waktu
: 2 x 45’

2.     STANDAR KOMPETENSI
        3. Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat

3.     KOMPETENSI DASAR
3.2.Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

4.     INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI
·         Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat
·         Menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat


5.     TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah peserta didik mengikuti materi ini diharapkan mereka mampu untuk:
  • Memahami penyelesaian persamaan kuadrat
·         Memahami penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

6.     MATERI AJAR
        Persamaan dan  Pertidaksamaan kuadrat

7.     METODE PEMBELAJARAN
Metode Pembelajaran                        : Ceramah, diskusi dan Tanya jawab

8.     KEGIATAN PEMBELAJARAN

No.
Kegiatan Belajar
Waktu
1.
Pendahuluan
a.     Orientasi
      Menuliskan judul di papan tulis
      Menuliskan indicator yang harus di kuasai siswa
b.     Apersepsi
      Siswa diingatkan kembali tentang persamaan kuadrat
c.      Motivasi
      Menghubungkan materi persamaan kuadrat dengan mata pelajaran lain dan kaitannya dengan kehidupan sehari-hari
      Menjelaskan manfaat setelah mempelajari materi persamaan kuadrat
5’
2.
Kegiatan Inti
a.     Eksplorasi
      Mendiskusikan tentang bentuk umum persamaan kuadrat.
      Diberikan beberapa contoh persamaan kuadrat dalam bentuk ax2+bx+c=0.
      Mendiskusikan dalam kelas cara memfaktorkan persamaan kuadrat, kemudian menyelesaikannya dan menentukan akar-akarnya.
      Mendiskusikan dalam kelas cara membentuk kuadrat sempurna dari contoh- contoh persamaan kuadrat yang diberikan  kemudian menentukan akar-akarnya.
      Mendiskusikan cara menurunkan rumus Kuadrat ( Rumus abc ), kemudian menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
b.     Elaborasi
      Siswa mengerjakan latihan soal secara individual atau kelompok

c.     Konfirmasi
      Guru  melakukan  tanya  jawab sambil mengarahkan siswa menemukan  jawaban atas permasalahan yang ditemukan
      Siswa yang aktif atau berhasil menyelesaikan permasalahan diberikan reward
      Siswa yang belum aktif diberikan motivasi
80’
3.
Penutup
      Siswa membuat kesimpulan.
      Siswa diberi tugas untuk pertemuan selanjutnya.
5’


9.     SUMBER BELAJAR
a.     Sumber Belajar                            : Buku paket, LKS

10.   PENILAIAN HASIL BELAJAR
a.
Teknik Penilaian
: Penugasan dan tes tertulis
b.
Bentuk Instrumen
: Uraian Singkat
c.
Instrumen Penilaian
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat  x2 – 6x – 16 =0 dengan faktorisasi

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat  5x2 > 5x +10



Kunci Jawaban :
No
Jawaban
Skor

1.
x2 – 6x – 16 =0
(x-8)(x+2)=0
x=8 dan x=-2
1
1
1
2.
5x2 > 5x + 10
    5x2 – 5x- 10>0
      5x2 – 5x- 10=0
    (5x+5)(x-2)=0
    X=-1 atau x=2
           -1                  2
·         untuk sebelah kiri -1, diambil -2 jadi
5(-2)2 > 5(-2) + 10
20 > 0 (benar) maka sebelah kiri -7 memenuhi
·         untuk sebelah kanan 2, diambil 3 jadi
5(3)2 > 5(3) + 10
45> 25 (benar) maka sebelah kanan 3 memenuhi
·         untuk antara -1 dan 2, diambil 0 jadi
5(0)2 > 5(0) + 10
0 > 10 (salah) maka tidak memenuhi
Jadi HP={x|x<-1 dan x>2}






1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1

SKOR TOTAL
18


NILAI = ((SKOR PEROLEHAN):(SKOR TOTAL)) x 100%


Mengetahui                                                                                         
Kepala Sekolah                                                                                                                                   Guru Mata Pelajaran





(…………………………)                                                                                                                (……………………………..)


RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

1.     IDENTITAS MATA PELAJARAN
a.
Nama Sekolah
: SMK ………..
b.
Mata Pelajaran
: Matematika
c.
Kelas/Semester
: X/1
d.
Jumlah pertemuan
:
e.
Alokasi Waktu
: 2 x 45’

2.     STANDAR KOMPETENSI
        5. Menyelesaikan masalah program linear

3.     KOMPETENSI DASAR
`            5.1 Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear


4.     INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI
·         Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear (satu variabel dan dua variabel)

5.     TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah peserta didik mengikuti materi ini diharapkan mereka mampu untuk:
·         Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear (satu variabel dan dua variabel)


6.     MATERI AJAR
        Pengertian Program Linear dan Grafik HP Sistem Pertidaksamaan Linear

7.     METODE PEMBELAJARAN
Metode Pembelajaran                        : Ceramah, diskusi dan Tanya jawab

8.     KEGIATAN PEMBELAJARAN

No.
Kegiatan Belajar
Waktu
1.
Pendahuluan
a.     Orientasi
      Menuliskan judul di papan tulis
      Menuliskan indikator yang harus di kuasai siswa
b.     Apersepsi
      Siswa diingatkan kembali tentang pertidaksamaan Linear
c.      Motivasi
      Menghubungkan materi pertidaksamaan linear dengan mata pelajaran lain dan kaitannya dengan kehidupan sehari-hari
5’
2.
Kegiatan Inti
a.     Eksplorasi
      Mendiskusikan tentang pengertian program linear.
      Guru menerangkan cara menggambar grafik pertidaksamaan linear satu variabel dan dua variabel
      Membahas contoh soal bersama dengan siswa.
b.     Elaborasi
      Siswa mengerjakan latihan soal secara individual atau kelompok

c.     Konfirmasi
      Guru  melakukan  tanya  jawab sambil mengarahkan siswa menemukan  jawaban atas permasalahan yang ditemukan
      Siswa yang aktif atau berhasil menyelesaikan permasalahan diberikan reward
      Siswa yang belum aktif diberikan motivasi
80’
3.
Penutup
      Siswa membuat kesimpulan.
      Siswa diberi tugas untuk pertemuan selanjutnya.
5’


9.     SUMBER BELAJAR
a.     Sumber Belajar                            : Buku paket, LKS



10.   PENILAIAN HASIL BELAJAR
a.
Teknik Penilaian
: Penugasan dan tes tertulis
b.
Bentuk Instrumen
: Uraian Singkat
c.
Instrumen Penilaian
1.      Gambarlah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini.

a. x>-1  b.-2<y<0  c. x-2y<4
2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear di bawah ini.
x≥0; y≥0; x-y<4


Kunci Jawaban :
No
Jawaban
Skor

1.
a. x>-1                                                      
 



      -1
2

b. .-2<y<0, artinya -2<y dan y<0

 





                 0

                -2

2

c. x-2y<4
Gambar terlebih dahulu . x-2y=4
Tentukan titik potong di sumbu x dan y
x
0
4
y
-2
0
(x,y)
(0,-2)
(4,0)


          
 

                                          4
       
             -2
2


2



2

SKOR TOTAL
10


NILAI = ((SKOR PEROLEHAN):(SKOR TOTAL)) x 100%





Mengetahui                                                                                         
Kepala Sekolah                                                                                                                                   Guru Mata Pelajaran





(…………………………)                                                                                                                (……………………………..