FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN (ANALISA KOMPLEKS)

FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN

A. Kekontinuan

            Dalam bahasa yang biasa, kata kontinu digunakan untuk memberikan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. 

     Misal f(z) terdefenisi dan nilai tunggal dalam suatu lingkungan dari z = z₀ dan juga pada z = z₀ ( yaitu lingkungan dari z₀ ).Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z₀.Jika bahwa ini mengakibatkan 3 syarat yang harus dipenuhi agar f(z) kontinu di z = z₀ :

1.        harus ada

2.      f(z₀) harus ada yang f(z) terdefenisi di z₀

3.      e = f(z₀)

Jika f(z) kontinu di z₀ pernyataan yang setara dengan ini dan yang dianjurkan adalah berbentuk   .

Contoh:

Jika f(z) =  untuk z, maka dan f(z) kontinu di z = i

            Titik dibidang z dimana f(z) tidak kontinu dinamakan  ketakkontinuan dari f(z) dan f(z) dikatakan tak kontinu di titik ini. Jika  ada tetapi sama dengan , maka kita namakan  suatu ketakkontinuan yang dapat dihapuskan karena dengan mendefenisikan kembali . Sama dengan  fungsinya menjadi kontinu.

            Cara lain untuk mrndefenisikan kekontinuan diatas adalah f(z) dikatakan kontinu di z = . Jika untuk setiap e, kita dapat menentukan  sehngga  dinamakan . Perhatikan bahwa ini menyederhanakan defenisi limit dengan f(z) =  dan menghitung batasan  .

            Untuk mengaji kekontinuan f(z) di z = , kita gantikan dengan z = 1/w dan ujilah kekontinuan f(1/w) di w = 0.

B. Kekontinuan Dalam Suatu Daerah

            Suatu fungsi f(z) dikatakan kontinu dalam suatu jika ia kontinu di semua titik pada daerah tersebut.

C. Teorema Pada Kekontinuan

Teorema 1 :

Jika f(z) dan g(z) kontinu di z = z₀,maka fungsi f(z) + g(z),f(z) – g(z) ,f(z) g(z) dan  juga kontinu di z₀ tetapi yang terakhir ditambah syarat hanya jika g(z₀) ≠ 0 hasil yang lama berlaku untuk kekontinuan pada suatu daerah.

Teorema 2 :

Fungsi yang kontinu pada setiap darah berhingga diantaranya adalah

a.       semua suku banyak

b.      e^z

c.       din z dan cos z

Teorema 3 :

Jika w = f(z) kontinu di z = z₀ dan  kontinu pada  dan jika , maka fungsi w = g[f(z)] yang dinamakan suatu fungsi dari fungsi atau fungsi komposisi kontinu di z = z₀.Suatu fungsi dari fungsi kontinu juga dikatakan kontinu.

Teorema 4 :

Jika f(z) kontinu dalam suatu daerah tertutup,maka terbatas pada daerah tersebut ; yaitu terdapat konstanta M sehingga  untuk semua titik z pada daerah tersebut.

Teorema 5 :

Jika f(z) kontinu dalam suatu daerah,maka bagian riil dan khayal dari f(z) kontinu dalam daerah tersebut.

D. Kekontinuan Seragam

Misal f(z) kontinu dalam suatu daerah,maka menurut dafenisinya disetiap titik z₀ dari daerah tersebut dan untuk setiap e > 0 ,kita dapat menentukan  ( yang secara umum bergantung pada e dan titik khusus z₀ ).Sehingga  bilamana .Jika kita dapat menentukan  yang hanya bergantung dari e tetapi pada titik khusus z₀,maka kita mengatakan bahwa f(z) kontinu seragam dalam daerah tersebut.f(z) dikatakan kontinu seragam dalam suatu daerah jika untuk setiap e > 0 kita dapat menentukan

> 0 sehingga bilamana  dimana z₁ dan z₂ adalah dua titik sembarang pada daerah tersebut.

Teorema :

Jika f(z) kontinu dalam suatu daerah tertutup,maka ia kontinu seragam di daerah tersebut.

E. Barian

Suatu fungsi dengan peubah bilangan bulat positif,yang dinyatakan oleh f(n) atau Un dimana n = 1,2,3,.... dinamakan suatu barisan.Jadi suatu barisan adalah suatu himpunan bilangan U₁,U₂,U₃,...  dalam suatu barisan tertentu yang diatur dan dibentuk melalui suatu aturan tertentu.Setiap bilangan dalam barisan dinamakan suku dan Un dinamakan suku ke-n barisan   U₁,U₂,U₃,... juga disingkat dengan tulisan ( Un ).Barisan tersebut dinamakan berhingga atau tak berhingga sesuai dengan apakah bilangan yang terlibat banyaknya berhingga atau tidak. Dalam hal yang khusus, kita hanya akan mempelajari barisan tak berhingga.

Contoh:

1)      Himpunan bilangan  adalah suatu barisan berhingga:

Suku ke – n ditentukan oleh

2)      Himpunan bilangan adalah barisan tak berhingga:

Suku ke – n nya ditentukan oleh

F. Limit Barisan

Suatu barisan e dinamakan limit suatu barisan tak hingga U₁,U₂,U₃,...  jika untuk setiap bilangan e positif kita dapat menentukan suatu bilangan posotif N yang bergantung pada e sehingga  untuk setiap n > N.Dalam kasus ini kita menuliskan .

Jika limit barisan tersebut ada,mka barisan dinamakan konvergen : dalam hal lain dinamakan divergen.Suatu barisan hanya dapat konvergen ke satu limit,yaitu limit suatu barisan adalah tunggal.

Suatu cara yang lebih intuitif tapi tidak akurat untuk menyatakan konsep limit barisan ini ialah bahwa suatu barisan U₁,U₂,U₃,... memiliki limit jika suku-suku berturutannya ” makin mendekati e ”.Sering digunakan untuk menunjukkan suatu ” taksiran ” dalam menentukkan nilai limitnya,dan sesudah ini digunakan defenisi limit untuk melihat bahwa taksiran tersebut sesungguhnya benar.

G. Teorema Pada Limit Barisan

Jika   dan     maka :

H. Deret Tak Berhingga

Misalkan U₁,U₂,U₃,... adalah suatu barisan. Bentuklah suatu barisan baru S₁,S₂,S₃,... didefenisikan oleh

S₁ = U₁ ,

 S₂ = U₁+U₂ ,

 S₃ = U₁+U₂+U₃ ,

S_n = U₁+U₂+ ∙∙∙ U_n ,

diamana S_n dinamakan jumlah parsial ke-n ,yaitu jumlah suku pertama dari barisan ( U_n ).

Barisan S₁,S₂,S₃,... ditulis dengan lambang  U₁+U₂+U₃+ ∙∙∙ = Yang dinamakan suatu deret ak hingga.

Jika  ada,maka deret tersebut dinamakan konvergen dan S adalah jumlahnya,dalam hal ini deret tersebut dinamakan devergen.Suatu syarat perlu agar suatu deret konvergen adalah ;tetapi ini bukan syarat cukup.

CONTOH RPP SMK KELAS X

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

1.     IDENTITAS MATA PELAJARAN

a.	Nama Sekolah	: SMK ……………..
b.	Mata Pelajaran	: Matematika
c.	Kelas/Semester	: X/1
d.	Jumlah pertemuan	:
e.	Pertemuan ke	:
f.	Alokasi Waktu	:  2 x 45’

2.     STANDAR KOMPETENSI

         3. Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat

3.     KOMPETENSI DASAR

        3.1. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear

4.     INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

·         Menentukan penyelesaian persamaan linear

·         Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear

·         Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan linear

5.     TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah peserta didik mengikuti materi ini diharapkan mereka mampu untuk:

• Memahami penyelesaian persamaan linear

·         Memahami penyelesaian pertidaksamaan linear

·         Memahami penerapan persamaan dan pertidaksamaan linear

6.     MATERI AJAR

        Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

7.     METODE PEMBELAJARAN

        Metode Pembelajaran             : Ceramah, diskusi, dan tanya jawab

8.     KEGIATAN PEMBELAJARAN

	No.		Kegiatan Belajar	Waktu
	1.		Pendahuluan a.     Orientasi •      Menuliskan judul di white board •      Menjelaskan secara singkat materi dan kompetensi yang akan dimiliki siswa sebagai hasil belajar •      Menyampaikan indikator yang harus dikuasai siswa         Apersepsi •      Mengingatkan kembali materi persamaan linear	5’
		c.     Motivasi •      Memberikan gambaran manfaat materi macam-macam persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari
2.		Kegiatan Inti a.     Eksplorasi •      Guru memberikan materi persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. •      Guru dan siswa mendiskusikan mengenai materi yang telah disampaikan. •      Guru dan siswa membahas contoh soal yang ada di buku. •    Melibatkan siswa secara aktif dalam kegiatan pembelajaran b.     Elaborasi •      Siswa mengerjakan soal-soal latihan •      Siswa mempresentasikan hasilnya c.     Konfirmasi •      Guru  melakukan  tanya  jawab sambil mengarahkan siswa menemukan  jawaban atas permasalahan yang ditemukan •      Siswa yang aktif atau berhasil menyelesaikan permasalahan diberikan reward •      Siswa yang belum aktif diberikan motivasi		80’
3.		Penutup •      Siswa membuat kesimpulan •      Siswa diberi tugas untuk pertemuan selanjutnya		5’

9.     SUMBER BELAJAR

a.     Sumber Belajar                            : Buku paket, LKS

10.   PENILAIAN HASIL BELAJAR

a.	Teknik Penilaian	: Penugasan dan tes tertulis
b.	Bentuk Instrumen	: Uraian Singkat

               

c. Instrumen                                :

1. Tentukan nilai x dari persamaan  20(3x+1) =-50(5 – x)

2. Tentukan himpunan penuelesaian pertidaksamaan berikut.

a. 5b-3 < 7b+11

b. 3x-4≥16+8x

Kunci Jawaban :

No	Jawaban	Skor
1.	20(3x+1) = - 50(5 – x) 60x+20=  -250 + 50x 60x-50x= -250 10x= -250 x = -25	1 1 1 1 1
2.	a. 5b-3 < 7b+11     5b-7b < 11+3     2b< 14     b < 7 b. 3x-4≥16+8x 3x-8x≥16+4 -5x≥20 x≤4	1 1 1 1 1 1 1 1
	SKOR TOTAL	12

NILAI = ((SKOR PEROLEHAN):(SKOR TOTAL)) x 100%

                  

Mengetahui                                                                                         

                                                                                                                               

                   Kepala Sekolah                                                                                                                Guru Mata Pelajaran

                   (………………………….)                                                                              (……………………………..)

                  

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

1.     IDENTITAS MATA PELAJARAN

a.	Nama Sekolah	: SMK …………….
b.	Mata Pelajaran	: Matematika
c.	Kelas/Semester	: X/1
d.	Jumlah pertemuan	:
e.	Alokasi Waktu	: 2 x 45’

2.     STANDAR KOMPETENSI

        3. Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat

3.     KOMPETENSI DASAR

3.2.Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

4.     INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

·         Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat

·         Menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

5.     TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah peserta didik mengikuti materi ini diharapkan mereka mampu untuk:

• Memahami penyelesaian persamaan kuadrat

·         Memahami penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

6.     MATERI AJAR

        Persamaan dan  Pertidaksamaan kuadrat

7.     METODE PEMBELAJARAN

Metode Pembelajaran                        : Ceramah, diskusi dan Tanya jawab

8.     KEGIATAN PEMBELAJARAN

No.	Kegiatan Belajar	Waktu
1.	Pendahuluan a.     Orientasi •      Menuliskan judul di papan tulis •      Menuliskan indicator yang harus di kuasai siswa b.     Apersepsi •      Siswa diingatkan kembali tentang persamaan kuadrat c.      Motivasi •      Menghubungkan materi persamaan kuadrat dengan mata pelajaran lain dan kaitannya dengan kehidupan sehari-hari •      Menjelaskan manfaat setelah mempelajari materi persamaan kuadrat	5’
2.	Kegiatan Inti a.     Eksplorasi •      Mendiskusikan tentang bentuk umum persamaan kuadrat. •      Diberikan beberapa contoh persamaan kuadrat dalam bentuk ax2+bx+c=0. •      Mendiskusikan dalam kelas cara memfaktorkan persamaan kuadrat, kemudian menyelesaikannya dan menentukan akar-akarnya. •      Mendiskusikan dalam kelas cara membentuk kuadrat sempurna dari contoh- contoh persamaan kuadrat yang diberikan  kemudian menentukan akar-akarnya. •      Mendiskusikan cara menurunkan rumus Kuadrat ( Rumus abc ), kemudian menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus b.     Elaborasi •      Siswa mengerjakan latihan soal secara individual atau kelompok c.     Konfirmasi •      Guru  melakukan  tanya  jawab sambil mengarahkan siswa menemukan  jawaban atas permasalahan yang ditemukan •      Siswa yang aktif atau berhasil menyelesaikan permasalahan diberikan reward •      Siswa yang belum aktif diberikan motivasi	80’
3.	Penutup •      Siswa membuat kesimpulan. •      Siswa diberi tugas untuk pertemuan selanjutnya.	5’

9.     SUMBER BELAJAR

a.     Sumber Belajar                            : Buku paket, LKS

10.   PENILAIAN HASIL BELAJAR

a.	Teknik Penilaian	: Penugasan dan tes tertulis
b.	Bentuk Instrumen	: Uraian Singkat
c.	Instrumen Penilaian	1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat  x2 – 6x – 16 =0 dengan faktorisasi 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat  5x2 > 5x +10

Kunci Jawaban :

No	Jawaban	Skor
1.	x2 – 6x – 16 =0 (x-8)(x+2)=0 x=8 dan x=-2	1 1 1
2.	5x2 > 5x + 10     5x2 – 5x- 10>0       5x2 – 5x- 10=0     (5x+5)(x-2)=0     X=-1 atau x=2            -1                  2 ·         untuk sebelah kiri -1, diambil -2 jadi 5(-2)2 > 5(-2) + 10 20 > 0 (benar) maka sebelah kiri -7 memenuhi ·         untuk sebelah kanan 2, diambil 3 jadi 5(3)2 > 5(3) + 10 45> 25 (benar) maka sebelah kanan 3 memenuhi ·         untuk antara -1 dan 2, diambil 0 jadi 5(0)2 > 5(0) + 10 0 > 10 (salah) maka tidak memenuhi Jadi HP={x|x<-1 dan x>2}	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
	SKOR TOTAL	18

NILAI = ((SKOR PEROLEHAN):(SKOR TOTAL)) x 100%

Mengetahui                                                                                         

Kepala Sekolah                                                                                                                                   Guru Mata Pelajaran

(…………………………)                                                                                                                (……………………………..)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

1.     IDENTITAS MATA PELAJARAN

a.	Nama Sekolah	: SMK ………..
b.	Mata Pelajaran	: Matematika
c.	Kelas/Semester	: X/1
d.	Jumlah pertemuan	:
e.	Alokasi Waktu	: 2 x 45’

2.     STANDAR KOMPETENSI

        5. Menyelesaikan masalah program linear

3.     KOMPETENSI DASAR

`            5.1 Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear

4.     INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

·         Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear (satu variabel dan dua variabel)

5.     TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah peserta didik mengikuti materi ini diharapkan mereka mampu untuk:

·         Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear (satu variabel dan dua variabel)

6.     MATERI AJAR

        Pengertian Program Linear dan Grafik HP Sistem Pertidaksamaan Linear

7.     METODE PEMBELAJARAN

Metode Pembelajaran                        : Ceramah, diskusi dan Tanya jawab

8.     KEGIATAN PEMBELAJARAN

No.	Kegiatan Belajar	Waktu
1.	Pendahuluan a.     Orientasi •      Menuliskan judul di papan tulis •      Menuliskan indikator yang harus di kuasai siswa b.     Apersepsi •      Siswa diingatkan kembali tentang pertidaksamaan Linear c.      Motivasi •      Menghubungkan materi pertidaksamaan linear dengan mata pelajaran lain dan kaitannya dengan kehidupan sehari-hari	5’
2.	Kegiatan Inti a.     Eksplorasi •      Mendiskusikan tentang pengertian program linear. •      Guru menerangkan cara menggambar grafik pertidaksamaan linear satu variabel dan dua variabel •      Membahas contoh soal bersama dengan siswa. b.     Elaborasi •      Siswa mengerjakan latihan soal secara individual atau kelompok c.     Konfirmasi •      Guru  melakukan  tanya  jawab sambil mengarahkan siswa menemukan  jawaban atas permasalahan yang ditemukan •      Siswa yang aktif atau berhasil menyelesaikan permasalahan diberikan reward •      Siswa yang belum aktif diberikan motivasi	80’
3.	Penutup •      Siswa membuat kesimpulan. •      Siswa diberi tugas untuk pertemuan selanjutnya.	5’

9.     SUMBER BELAJAR

a.     Sumber Belajar                            : Buku paket, LKS

10.   PENILAIAN HASIL BELAJAR

a.	Teknik Penilaian	: Penugasan dan tes tertulis
b.	Bentuk Instrumen	: Uraian Singkat
c.	Instrumen Penilaian	1.      Gambarlah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini. a. x>-1  b.-2<y<0  c. x-2y<4 2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear di bawah ini. x≥0; y≥0; x-y<4

Kunci Jawaban :

No	Jawaban	Skor
1.	a. x>-1                                                               -1	2
	b. .-2<y<0, artinya -2<y dan y<0                    0                 -2	2
	c. x-2y<4 Gambar terlebih dahulu . x-2y=4 Tentukan titik potong di sumbu x dan y x 0 4 y -2 0 (x,y) (0,-2) (4,0)                                                        4                      -2	2 2 2
	SKOR TOTAL	10

NILAI = ((SKOR PEROLEHAN):(SKOR TOTAL)) x 100%

Mengetahui                                                                                         

Kepala Sekolah                                                                                                                                   Guru Mata Pelajaran

(…………………………)                                                                                                                (……………………………..